Área de un segmento circular

Aquí te enseñamos cuál es la fórmula del área de un segmento circular y cómo se calcula. También encontrarás ejercicios resueltos paso a paso del área de un segmento circular y, además, hallarás la demostración de la fórmula del segmento circular.

Cómo calcular el área de un segmento circular

El área de un segmento circular es igual al área del sector circular menos el área del triángulo. Por tanto, la fórmula para calcular el área de un segmento circular es un medio por el radio del segmento circular al cuadrado por la diferencia del ángulo y el seno del ángulo del segmento circular.

area del segmento circular

Esta fórmula se puede utilizar solamente cuando el ángulo esté expresado en grados, pero si el ángulo está en forma de radianes debes usar la siguiente fórmula:

\displaystyle A=\frac{R^2}{2}\cdot \left(\alpha-\text{sen}(\alpha)\right)

Determinar el área de un segmento circular calculando las áreas del sector circular y de la porción triangular resulta más intuitivo, ya que puedes ver en un dibujo qué estás calculando. Sin embargo, es más fácil cometer errores porque se tienen que hacer más cálculos.

Por eso te recomendamos usar directamente la fórmula del área de un segmento circular, el cálculo es mucho más rápido y tienes menos probabilidad de equivocarte. Por contra, debes aprenderte de memoria la fórmula.

Ejemplo del cálculo del área de un segmento circular

Para que puedas ver cómo se halla el área de un segmento circular, a continuación calcularemos el área de una figura geométrica de este tipo a modo de ejemplo.

  • Calcula el área de un segmento circular de 80 grados y 5 cm de radio.
ejemplo area segmento circular

Para determinar el área del segmento circular usaremos su fórmula correspondiente:

\displaystyle A=\frac{R^2}{2}\cdot \left(\frac{\alpha\cdot \pi}{180}-\text{sen}(\alpha)\right)

Ahora sustituimos el valor del radio y del ángulo del segmento circular en la fórmula:

\displaystyle A=\frac{5^2}{2}\cdot \left(\frac{80\cdot \pi}{180}-\text{sen}(80)\right)

Y hacemos los cálculos con la calculadora para hallar el área del segmento circular de este problema:

\displaystyle A=5,14 \text{ cm}^2

Demostración de la fórmula del área de un segmento circular

En este apartado vamos a demostrar la fórmula que sirve para hallar el área de cualquier segmento circular. No es necesario que memorices el procedimiento, pero entenderlo te puede ayudar a asimilar mejor el concepto geométrico.

El área de un segmento circular se puede encontrar calculando el área del sector circular en el que está inscrito y luego restando el área del triángulo que forman los vértices del segmento circular y el centro de la circunferencia. Por tanto, para demostrar la fórmula primero hallaremos el área de ambas figuras geométricas y luego las restaremos.

El área de todo el sector circular se puede calcular fácilmente aplicando su fórmula correspondiente:

A_{sector \ circular}=\cfrac{\pi \cdot R^2 \cdot\alpha}{360}

Y el área de la mitad del triángulo se puede expresar en función del ángulo utilizando las razones trigonométricas del seno y del coseno:

\displaystyle A_{mitad \ tri\'angulo}=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \text{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{\alpha}{2}\right)

De modo que el área que ocupa todo el triángulo es:

\displaystyle A_{tri\'angulo}=2\cdot A_{mitad \ tri\'angulo} = R^2\cdot \text{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{\alpha}{2}\right)

Ahora restamos la expresión del área del sector circular menos la del área de la porción triangular:

\displaystyle A_{sector \ circular}-A_{tri\'angulo}=\cfrac{\pi \cdot R^2 \cdot\alpha}{360}-R^2\cdot \text{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{\alpha}{2}\right)

Utilizamos la identidad trigonométrica del ángulo doble para transformar la fórmula:

\text{sen}(2\alpha)=2\cdot\text{sen}(\alpha)\cdot \text{cos}(\alpha)

A_{sector \ circular}-A_{tri\'angulo}=\cfrac{\pi \cdot R^2 \cdot\alpha}{360}-R^2\cdot \cfrac{1}{2}\cdot \text{sen}(\alpha)

Y, por último, sacamos factor común y llegamos a la fórmula del área de un segmento circular:

\displaystyle A=\frac{R^2}{2}\cdot \left(\frac{\alpha\cdot \pi}{180}-\text{sen}(\alpha)\right)

Ejercicios resueltos del área de un segmento circular

Ejercicio 1

Halla el área del siguiente segmento circular de 4 cm de radio y ángulo 100º.

ejercicio resuelto del area de un segmento circular

Para encontrar el área del segmento circular del ejercicio aplicamos la fórmula que hemos visto más arriba:

\displaystyle A=\frac{R^2}{2}\cdot \left(\frac{\alpha\cdot \pi}{180}-\text{sen}(\alpha)\right)

Y luego simplemente tenemos que sustituir los valores en la fórmula y resolver las operaciones:

\displaystyle A=\frac{4^2}{2}\cdot \left(\frac{100\cdot \pi}{180}-\text{sen}(100)\right)=6,04 \text{ cm}^2

 

Ejercicio 2

Calcula el área sombreada de la siguiente figura geométrica:

ejercicio resuelto del area de un segmento circular

Si nos fijamos, el segmento circular está inscrito exactamente en un cuarto de circunferencia, lo que significa que su ángulo es de 90º.

Asimismo, el lado del cuadrado corresponde al radio de la circunferencia imaginaria en la cual el segmento está inscrito, por lo que el radio es 9 cm.

De modo que el área del segmento circular será:

\displaystyle A=\frac{9^2}{2}\cdot \left(\frac{90\cdot \pi}{180}-\text{sen}(90)\right)=23,12 \text{ cm}^2

 

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