Área de un octógono

Te explicamos cómo calcular el área (o superficie) de un octógono. Encontrarás la fórmula del área de un octógono, un ejemplo y una calculadora para calcular el área de cualquier octógono regular online.

Fórmula del área de un octógono

El área de un octógono es igual al perímetro del octógono por su apotema partido por dos. Por lo tanto, como un octógono es un polígono de 8 lados, el área de un octógono regular es igual a cuatro por la longitud del lado del octógono por su apotema.

De manera que la fórmula del área de un octógono regular es la siguiente:

area de un octogono

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular el área de cualquier octógono regular.

La fórmula del área de un octógono regular se puede demostrar matemáticamente. Para ello, partimos de la fórmula del área de cualquier polígono regular y sustituimos el perímetro por su expresión:

A=\cfrac{P\cdot ap}{2}=\cfrac{8\cdot L\cdot ap}{2}=4\cdot L \cdot ap

Por otro lado, la apotema de un octógono regular se puede relacionar con la longitud de su lado mediante la siguiente expresión algebraica:

ap=\cfrac{L}{2\cdot\text{tan}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\cfrac{L}{2\cdot\text{tan}\left(\frac{360}{8\cdot 2}\right)}\approx \cfrac{L}{0,83}

Así pues, podemos sustituir la expresión anterior en la fórmula del octógono para poder calcular su área o superficie cuando solo conocemos la longitud de su lado:

A=4\cdot L\cdot ap=\cfrac{4\cdot L\cdot L}{0,83}=4,83\cdot L^2

Como se ha redondeado el valor de la tangente al segundo decimal, el resultado obtenido con esta última fórmula será una aproximación. Pero como mucho el resultado del área de la figura plana cambiará unos decimales.

Entonces, si solo sabes cuánto mide el lado del octógono tienes dos opciones para sacar su área: primero calcular su apotema y luego emplear la primera fórmula, o directamente usar esta última fórmula en la que solamente debes sustituir la longitud del lado y hacer el cálculo.

Ejemplo del área de un octógono

Ahora que ya hemos visto cuál es la fórmula del área de un octógono regular, para explicar bien cómo sacar el área de un octógono vamos a resolver un ejercicio paso a paso.

  • Calcula el área del siguiente octógono regular cuyo lado mide 11 cm.
ejemplo del area de un octogono

En este caso solamente conocemos la longitud del lado del polígono, por lo que para hallar el área o superficie del octógono primero tenemos que encontrar su apotema o utilizar directamente la última fórmula que hemos visto. Para que veas las dos opciones calcularemos su área utilizando los dos métodos.

La longitud de la apotema del octógono se puede determinar dividiendo la figura en triángulos y aplicando las razones trigonométricas:

ap=\cfrac{L}{2\cdot\text{tan}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\cfrac{11}{2\cdot\text{tan}\left(\frac{360}{8\cdot 2}\right)}=13,28 \text{ cm}

Y una vez sabemos la longitud del lado y de la apotema, tan solo debemos usar la fórmula del área de un octógono regular y hacer el cálculo:

A=4\cdot L \cdot ap=4\cdot 11\cdot 13,28 =584,24 \text{ cm}^2

Finalmente, también sacaremos el área del octógono empleando la fórmula en la que solo aparece la longitud del lado para que veas cómo se hace:

A=4,83\cdot L^2=4,83\cdot 11^2=584,43\text{ cm}^2

Calculadora del área y perímetro de un octógono

Introduce la longitud del lado o de la apotema en la siguiente calculadora para calcular el área y el perímetro del octógono regular online.

Debes seleccionar si pondrás la longitud del lado o de la apotema e introducir el número en centímetros utilizando el punto como separador decimal.

  • =

Área de un octógono irregular

Para calcular el área de un octógono irregular no se puede utilizar la misma fórmula del octógono regular, sino que se debe dividir el polígono en triángulos y calcular la superficie de cada triángulo. A este proceso se le llama triangulación de un octógono.

area de un octogono irregular

En este caso hemos representado estos seis triángulos, pero lógicamente se puede descomponer el polígono irregular en los triángulos que más convengan. Recuerda que el área de un triángulo se calcula multiplicando un medio por la longitud de su base por su altura.

De esta forma se divide el octógono irregular en triángulos y es más fácil sacar su área.

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